尺寸教具：

    這一教學所需要的教具是3套固體的木塊，每一套木塊包括一個大的主木塊和10個小圓柱體，每個主木塊長55厘米，寬8厘米，高6厘米，上麵都有10個槽，這10個小圓柱體可以分別鑲嵌在這些槽裏。每個小圓柱體頂端的中央部分都有一個像按鈕一樣的小東西，這個小東西由木頭或黃銅製成，以便孩子可以像拿砝碼一樣把這些圓柱體拿在手裏。在第一套木塊中，所有小圓柱體的高度是相同的，都為55厘米，不同的是它們的直徑。最小的圓柱體直徑為1厘米，其他的圓柱體直徑依次增加0.5厘米。第二套木塊中的小圓柱體直徑都相同，不同之處在於它們的高度，最短的一個圓柱體隻有1厘米高，就像一個小圓盤一樣，其他的圓柱體依次增加5厘米的高度，最高的一個圓柱體高度為55厘米。第三套木塊中，所有圓柱體的高度和直徑都不同，第一個圓柱體的直徑為1厘米，高度也為1厘米，其他圓柱的高度和直徑都比第一個要多0.5厘米。孩子可以通過實際操作這些木塊，學會根據物體的厚度、高度和體積對不同物體進行區分。

    老師可以同時讓3個孩子一起玩這3套教具，並讓他們相互交換手中的木塊，這樣就可以讓遊戲變得多樣化。孩子可以把所有木塊中的小圓柱體拿出來，然後把它們放到桌子上混合在一起，最後把每個小圓柱體放回它原有的位置。另外我要指出一點，即這些小圓柱體和木塊都是由拋過光並塗上了清漆的鬆木製成的。

    老師還應該給孩子準備一些大小分級的教具。我們學校就這一練習給孩子提供了3套教具，我建議每所學校最好每套教具都準備兩副。

    1. 厚度教具

    第一套教具是厚度教具，這套教具由10個薄厚不同的四邊棱柱體組成。這些棱柱體的長度都為20厘米，其中最大的一塊棱柱體底邊為10厘米，其他棱柱體的底邊依次減少1厘米。這些棱柱體均為黑灰色。在進行訓練時，我們可以把這些棱柱體混合在一起，然後把它們散落在地毯上。孩子需要按照不同的厚度把這些棱柱體按照順序排列起來。這些棱柱體的厚度都不一樣，孩子可以按照自己的喜好選擇從最厚的開始排或是從最薄的開始排。我之前提過，如果孩子在進行小圓柱體練習時出現了錯誤，那麽錯誤很容易就能被發現，在這個練習中也是如此。如果一個孩子把最大的圓柱體放錯了槽，他就會馬上發現自己的錯誤，因為大圓柱體不可能放到比它小的槽裏去。同樣，如果一個孩子把最高的棱柱體放錯了位置，它就會很明顯地凸出來。我們稱這個練習為“大排序”，在這個練習中，孩子很容易通過眼睛發現錯誤，因為錯誤一旦發生，整個序列就會出現明顯的不規則，即應該上升的地方突然下降。

    2. 長度教具

    第二套教具是長度教具，這套教具由10根長度不同的木棒組成。這些木棒的截麵都是邊長為3厘米的正方形，其中最長的一根長度為1米，最短的一根長度為10厘米，其中每兩根木棒之間的長度都差10厘米。木棒上每隔10厘米就有一個標記，這些標記被交錯地塗成紅色和藍色。孩子在排列這些木棒時，要保證木棒上的顏色是相對應的，這樣木棒在排列好後就會呈現出一個由管風琴的風管組成的直角三角形，而這些標記則會形成一些平行分割三角形側麵的橫條。

    當我們把這些木棒發給孩子時，它們的順序是被打亂的，孩子需要根據長度把這些混亂的木棒重新排序，並觀察相應的顏色。這種練習也為孩子提供了一種明顯的提示，讓孩子能夠及時發現錯誤。因為孩子如果沒有按順序排列木棒，那麽所形成的三角形斜邊就會變得很不整齊。我們可以看到，這種教具主要用來教孩子算術。它可以讓孩子學會從1數到10，還可以讓孩子學會加法、十進製和公製體係。

    3. 體積教具

    第三套教具是體積教具，這套教具由10個玫瑰色的木質正方體組成。這些正方體中最大的邊長為10厘米，最小的邊長為1厘米。除了這些正方體，我們還需要一塊光滑的綠色毯子。在進行這項練習時，孩子需要在毯子上把這10個正方體按照體積的大小壘成一個塔，用最大的正方體做塔基，並用最小的正方體做塔尖。我們會先把這些正方體散落在毯子上，然後讓孩子進行練習，孩子能夠在這個練習中同時練習跪、起立等動作。如果塔身出現明顯的不規則，那麽毫無疑問，孩子在壘塔的過程中犯了錯。在剛開始進行這項練習時，孩子最容易犯的錯誤就是把第二大的立方體當成最大的放在最下麵，然後把最大的一塊放在這一塊的上麵。我在讓德桑迪斯的有智力障礙的孩子進行練習時發現，很多孩子在練習了很多次後仍然會把第二大的立方體當成最大的。

    我們可以讓孩子用上述的3種教具進行練習。我們可以在地毯或是桌子上把這3種器材全部混合在一起，然後讓孩子把這些教具區分開，並分門別類地放在另一張桌子上。孩子在每一次拿部件時都必須集中注意力，因為他要記住自己從雜亂的部件堆裏拿的部件屬於哪一類教具以及這個部件在這類教具中的順序。這種練習最適合於4～5歲的孩子。

    對於3～4歲的孩子來說，更適合他們做的練習是讓他們在原地把混合在一起的部件按照原來的順序排列。3歲以下的孩子非常喜歡用這些玫瑰色的正方體壘塔，他們喜歡在塔壘好後馬上把塔推倒，然後重新壘一個。

    對形狀的視覺感知和視覺—觸覺—肌肉感知

    教具：

    我們可以用一些木製的平麵幾何部件訓練孩子對形狀的視覺感知和視覺—觸覺—肌肉感知。依塔德是最初使用這種教具的人，塞昆也用過這樣的教具。在弱智兒童學校裏，我也曾按照前輩們使用過的教具的形狀製作過一些教具，並在教學中使用了它們。在我製作的教具中，有一種教具是由兩塊板子組成的。我把這兩塊板子一上一下地擺放好，並把它們緊緊地粘在一起，然後在上麵的板子上打出許多不同幾何圖形的嵌孔。孩子需要在練習中把不同形狀的嵌板放到相應的嵌孔裏。為了便於孩子拿取嵌板，我也在每個嵌板上加了一個小的銅製按鈕。

    我在弱智兒童學校裏也進行了這些練習。為了把教孩子識別顏色的教具和教孩子識別形狀的嵌板區分開，我把所有教孩子識別顏色的嵌板製成了圓形，並把所有教孩子識別形狀的嵌板刷上了藍色。我有許多這樣的嵌板，它們的顏色都不同，形狀也不同，但是這種教具非常昂貴，並且不便於孩子使用。

    後來，我又對許多正常的孩子進行了試驗，並最終放棄了用平麵幾何嵌板教孩子認識顏色的方法，因為這種方法並不能讓孩子們認識到自己犯的錯誤，他們隻會按照形狀把嵌板放到形狀相同的嵌孔裏。

    我現在依然使用幾何嵌板，但是這些嵌板和以往的有所不同，我對它們進行了改造。我會產生改造這嵌板的想法是因為受到了一所羅馬優秀的手工培訓學校的啟發。我在那所學校中看到了許多被製成各種形狀的木頭模型，這些模型都可以被放到相應的框架中，也可以被放到相應的圖形上。這些教具的目的是為了讓手工製作者能夠精確地控製要製作的模型的尺寸和形狀，並製作出標準的模型。

    這讓我想到我應該對我的幾何嵌板進行一些改進，即同時利用上框架和圖形。我做了一個長30厘米，寬20厘米的長方形托盤，並把它刷成深藍色。我還做了一個底麵積和托盤一樣大的黑色框架，框架裏能同時容納下6個托盤。框架裏還設有能夠承載托盤的支撐物，以確保托盤可以像抽屜一樣被抽出來或推進去。這種成套的托盤具有可以改變形狀的優勢，這樣我們就可以把任何一種經過選擇的圖形組合呈現在孩子麵前。我做了若幹個這樣的黑色框架，這樣就能夠保證在展示至少兩到三個幾何圖形時，方框中還有剩餘空間。我又為每套教具多設計了一套邊長為10厘米的白色正方形卡片，這些卡片可以用來展示3個係列的幾何圖形。我們可以把藍色紙上的圖形剪下貼在第一係列的白色卡片上，然後在第二係列的卡片上貼上剪出的隻有輪廓的圖形，並在第三係列的卡片上用黑色的線標記出幾何圖形的輪廓。這樣我們就有了一套由托盤、框架和相對應的圖形說明以及3個係列卡片組成的教具。

    我還另外設計了一個能裝6個托盤的盒子，盒子的蓋可以打開，前麵的擋板也可以取下來，我們可以像拉抽屜一樣把托盤從盒子裏抽出來。每一層托盤裏放的嵌板都不一樣：第一層托盤裏放了4個簡易的木質正方形和2個分別裝著長菱形和梯形的框子；第二層托盤裏放了1個正方形和5個等長不等寬的長方形；第三層托盤裏放了6個直徑依次減小的圓形；第四個托盤裏放了6個三角形；第五層托盤裏放了6個多邊形，分別是1個五邊形、1個六邊形、1個七邊形、1個八邊形、1個九邊形和1個十邊形；第六層托盤裏放了6個曲線圖形，包括1個橢圓形、1個卵形、1個梅花形等。

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