我們知道半圓的周長是πR。假設整條波形曲線的長度為l，那麽l＝0.9π＋0.09π＋0.009π＋…＝π（0.9＋0.09＋0.009＋…）因為0.9＋0.09＋0.009＋…＝0.999…＝1所以l＝π×1＝π計算結果表明：這條無限振蕩、不斷伸長的波形曲線，它的總長等於π厘米！
給勇士平反
極限能幫助我們解決很多疑難問題。
前麵講到“飛矢不動”的詭辯，那位芝諾還提出過另外一個詭辯，叫做“阿溪裏斯追不上烏龜”。
阿溪裏斯是古希臘神話中的善跑的勇士。芝諾說，阿溪裏斯盡管跑得非常快，但是他卻追不上一隻在他前麵爬行的烏龜。這是怎麽回事呢？
芝諾說，假設烏龜從A點起在前麵爬，阿溪裏斯從O點出發在後麵追。當阿溪裏斯追到烏龜的出發點A時，烏龜同時向前爬行了一小段——到了B點；當阿溪裏斯從A點再追到B點時，烏龜又向前爬行了一小段——到了C點。依此類推，阿溪裏斯每次都需要先追到烏龜的出發點；而在阿溪裏斯往前追的同時，烏龜總是又向前爬行了一小段。盡管阿溪裏斯離烏龜的距離越來越近，可是永遠也別想追上烏龜。
過去，許多人不知道怎樣去駁倒芝諾。現在，有了極限的方法，就很容易戳穿他的謊言，把他徹底駁倒。
假定阿溪裏斯的速度是10米／秒，烏龜的速度是1米／秒；烏龜的出發點是A，阿溪裏斯的出發點是O，OA＝9米。
當阿溪裏斯用0.9秒跑完9米到了A點；烏龜在0.9秒的時間內，向前爬行了0.9米，到了B點。
阿溪裏斯再用0.09秒跑完0.9米，追到了B點；烏龜同時又向前爬行了0.09米，到了C點。……阿溪裏斯一段一段地向前追趕，所用的總時間t和總距離s是t＝0.9＋0.09＋0.009＋…（秒）s＝9＋0.9＋0.09＋…（米）因為0.9＋0.09＋0.009＋…＝0.999…＝1所以t＝1（秒）s＝10×（0.9＋0.09＋0.009＋…）＝10×1＝10（米）計算表明，阿溪裏斯隻用了一秒鍾，跑了十米路，就把烏龜追上了！
看來，阿溪裏斯真要感謝極限了。要不是極限把問題給搞清楚了，他還要蒙受追上不烏龜的恥辱。
製作望遠鏡
我們來介紹極限在幾何上的一個應用。
雨天騎自行車，車輪帶起的雨水，是沿著車輪的切線方向飛出去的。
圓周上一點A的切線好求。聯OA，過A作LA⊥OA，LA就是切線。科學研究的發展，迫切需要解決怎樣作一般曲線的切線。
三百多年前，荷蘭賣鏡片的亨斯無意中發現，把一片老花鏡和一片近視鏡組裝在一起，可以看清楚遠處的景物，製成了第一架望遠鏡。
伽利略改進了望遠鏡，造出了能放大32倍的望遠鏡。他用這架望遠鏡，發現了月亮上的高山和穀地，發現了太陽上的黑子，發現了木星的四顆衛星。這一係列的發現，驚動了當時歐洲的科學界，許多科學家紛紛製作倍數更大的望遠鏡。
製作望遠鏡促進了光學的研究。原來，鏡片的彎曲程度，直接影響著望遠鏡的放大倍數，而鏡片彎曲程度的計算和設計，都要用到切線。
怎樣求一般曲線的切線？人們曾經提出過許多方法。但是在這些方法中，都存在著一些不能令人滿意的地方。後來，人們應用極限的思想，把切線看作是割線的極限位置，很好地解決了曲線的切線問題。
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