距離(米)時間(秒)平均速度v(米/秒)90422.543221.5331.5721200.9620.8120.5820.67.840.3920.1從表中可以看出,隨著距離的不斷縮短,船的平均速度越來越接近20米/秒。這樣,我們自然會推想20米/秒,就應該是船過B點的瞬時速度。

    你看,用平均速度去逼近瞬時速度,多麽像用圓內接正多邊形麵積去逼近圓麵積啊!

    我國古代數學家用割圓的方法,隻能求出圓麵積的近似值。上麵,我們用縮短距離的方法,也隻能求出瞬時速度的近似值。可是我們要求的並不是近似值,而是瞬時速度本身。

    當然,我們可以想方設法,盡量縮短測量距離,使求出來的平均速度,盡量接近瞬時速度。

    但是,我們也必須清楚地看到,隻要距離s不等於零,用st算出來的平均速度,總要和瞬時速度相差那麽一點。幹脆讓s=0吧,s=0了,t也必然等於零,這時st就變成為00了。這可不成啊,老師再三強調零不能作分母。

    你看,瞬時速度就在眼前,離我們越來越近了,可就是眼巴巴地摸不著它。

    世上無難事,隻怕有心人。開普勒和卡瓦利裏勇於革新,創造出了求麵積的新方法;牛頓在求瞬時速度上,也作了大膽的嚐試。

    牛頓割尾巴

    牛頓認真分析了平均速度和瞬時速度的關係,提出了計算瞬時速度的新方法。下麵,我們來介紹一下牛頓的新方法:

    假設有一隻船從0點出發,作變速直線運動,一秒鍾走了一米,二秒鍾走了四米,三秒鍾走了九米,……分析一下上麵幾個數,船走過的距離,正好等於時間的平方。就是1秒鍾走了12米,2秒鍾走了22米,3秒鍾走了32米,……t秒鍾走了t2米。s=t2,反映了這隻船的運動規律。

    現在,假設我們要求第二秒末的瞬時速度。

    船在第二秒末走到了B點,B點距離O點4米。根據前麵求瞬時速度的辦法,求第二秒末的瞬時速度,需要先求出平均速度。我們不妨讓船由B點再向前走一小段時間。

    因為我們給出的時間很小很小,小得與眾不同了,我們在t的前麵加上一個希臘字母△(讀delta),寫成△t,好和一般的時間有所區別。

    在時間△t內,船又向前走了多少米呢?這可以算出來,船2秒鍾走了22米,(2+△t)秒走了(2+△t)2米。它們的差(2+△t)2-22,就是△t秒內船走過的距離。這個距離也很小,我們用類似的記號△s來表示,得到△s=(2+△t)2-22=〔22+2×2×△t+(△t)2〕-22=4△t+(△t)2這樣,在△t秒內的平均速度v應該是:

    v=△s△t=4△t+(△t)2△t=4+△t(米/秒)牛頓心裏很清楚,隻要△t不等於零,平均速度v總要帶著一個小尾巴——△t。拖個小尾巴的蝌蚪,如果不去掉尾巴,就變不成青蛙;帶小尾巴的平均速度,如果不去掉小尾巴△t,也永遠變不成瞬時速度。

    牛頓采取果斷措施,大膽令最後結果中的△t=0,割掉了平均速度的尾巴。他認為割掉了尾巴的平均速度,就應該是瞬時速度。

    用牛頓的方法,我們要求船在第二秒末的瞬時速度,隻要令4+△t中的△t=0,割掉尾巴,就得到了第二秒末的瞬時速度4米/秒。

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