第三百九十七章 通往無限的可能性(2/2)

    在培養魔女的時候在思考。在選者隊伍裏算計的時候思考，在布置魔網的時候思考，在戰鬥的時候仍然在思考。

    直到她在選者和學者派的麵前。儼然變成魔的樣子的時候，這個思考突然像是得到了什麽靈光，突然進入了一條嶄新的道路……

    ……

    某一世作為人的記憶裏，在司所接受過的知識裏，曾經有過這樣一段記錄：

    設a和b是歐幾裏得空間的兩個子集。如果它們可以分為有限個不相交子集的並集，形如（此處無法顯示）和（此處無法顯示），且對任意i，子集ai全等於bi（全等即可經剛性運動變換成另一個），那麽這兩個子集稱為等度分解的。於是，這個悖論可以如下敘述：

    一個球和它自身的兩個拷貝是等度分解的。

    對球來，五塊就足夠做到這點了，但少於五塊卻不行。這個悖論甚至有個更強的版本：

    任意兩個三維歐幾裏德空間具有非空內部的子集是等度分解的。

    換句話，一塊大理石可以分成有限塊然後重新組合成一個行星，或者一部電話機可以變形之後藏進一朵百合花裏麵。在現實生活中這種變形之所以不可行是因為原子的體積不是無限，數量不是無限大，但其幾何形狀確實可以這樣變形的。如果知道總是可以存在從一個幾何體的內部點一一映射到另一個的方法，也許這個悖論看上去就不那麽怪異了。例如兩個球可以雙射到其自身同樣級別的無限子集（例如一個球）。同樣我們還可以使一個球映射到一個大點或者點的球，隻要根據半徑放大係數即可將一個點映射到另一個。然而，這些變換一般來不能保積，或者需要將幾何體分割成不可數無限塊。巴拿赫-塔斯基悖論出人意料的地方是僅用有限塊進行旋轉和平移就能完成變換。

    使這個悖論成為可能的是無限的卷繞。技術上，這是不可測的，因此它們不具有“合理的”範圍或者平常的“體積”。用刀等物理方法是無法完成這種分割的，因為它們隻能分割出可測集合。這個純粹存在性的數學定理指出在多數人熟悉的可測集合之外，還有更多更多的不可測集合。

    對於三維以上的情形這個悖論依然成立。但對於歐幾裏德平麵它不成立。（以上敘述不適用於三維空間的二維子集，因為這個子集可能具有空的內部。）同時，也有一些悖論性的分解組合在平麵上成立：一個圓盤可以分割成有限塊並重新拚成一個麵積相同的實心正方形。參見塔斯基分割圓問題。

    這個悖論表明如果等度分解的子集被認為具有相同體積的話，就無法對歐幾裏德空間的有界子集定義什麽叫做“體積”。

    ……

    司回顧著自身的存在，以及自身存在的某種意義……她忽然地……像是明白了什麽……

    而她所明白，所理解的事情……似乎也真的要改變這個世界，改變她自己……(未完待續。。)u

本章已閱讀完畢(請點擊下一章繼續閱讀!)