但是，人們私下傳說金匠並沒有把全部金子用到王冠上，而是摻進了一部分銀子。國王聽了，也起了疑心。他把金冠稱一下，和交給金匠的金子一樣重，顏色也黃澄澄的，看不出摻進了什麽。如果為鑒別真假打碎這個精致的王冠，又覺得可惜。於是他決定讓阿基米德來檢驗。
阿基米德接受了這個任務，回到家裏左思右想，一直沒想出好辦法來。他茶不思，飯不想，整天焦躁不安。阿基米德思考問題非常專注，如同著了魔。讓他吃飯，他好像絲毫沒聽見，仍然繼續在火盆灰裏畫他的圖形。她妻子須時時看著他，否則他即使在用油擦身時（古希臘貴族中流行的促進衛生和健康的一種方法），也會呆坐著用油在自己的身上畫圖案而忘記原來要做的事。有一次，他帶著滿腦子問題在洗澡。澡盆裏裝滿了水，阿基米德慢慢把身子沉了進去。“嘩啦——嘩啦”，水不斷地溢出來。同時，他覺得自己變輕了，入水越深，這種感覺越明顯。以前，誰也沒有思索過這個現象的意義。現在，阿基米德一心在尋找解決問題的方法，突然間他一下子從澡盆溢水的現象中受到啟發。他意識到從盆子裏溢出來的水就等於人體進入水中的體積，如果在容器裏裝滿水，取一塊和王冠一樣重的純金，把它與王冠同時放入兩個充滿水的容器裏，如果它們溢出來的水一樣多，王冠就一定是純金的，否則就是摻了銀。想到這裏，阿基米德忘記了自己在洗澡，猛然跳出澡盆，光著身子跑出來，一邊大聲喊著：“尤裏卡！尤裏卡！”一邊向街上跑，完全不顧赤身裸體、令人難堪的樣子，穿過全城，奔向敘拉古王亥厄洛，去把自己的發現告訴他。街上的人們看著他光著身子高喊著跑出來，都以為他瘋了。
阿基米德首先測出王冠的重量，然後準備了和王冠一樣重的一塊純金和一塊純銀，還有一個裝滿水的容器。阿基米德把純金塊慢慢沉入容器，算出溢出的水量，這些水的體積就是純金塊的體積。再次裝滿水後，他又把純銀塊沉入裝滿水的容器，於是又得到了純銀塊的體積。
當然，銀塊的體積要比金塊大。最後，他又把王冠放入裝滿水的容器，根據溢出的水量測出了王冠的體積。阿基米德把王冠的體積和純金塊與純銀塊的體積加以比較，發現王冠的體積比純金塊的體積要大，比純銀塊的體積要小，這就證明了王冠不是用純金製成的，而是用金銀混合後製作的。根據測出的結果，他還計算出有多少黃金被換成了白銀，終於揭開了王冠之謎。
他對金匠說了自己的測試過程，金匠隻好承認了自己的罪行。
其實，阿基米德利用的是流體靜力學的最基本原理，但在他那個時代人們根本不懂得“比重”這個概念，更不懂得一個物體浸入液體以後，要利用它排開液體的重量。說阿基米德智慧過人也正是在這裏。從此，一個被稱作“阿基米德定律”的原理一直寫到了今天的每一本物理學教科書中。
阿基米德一生的發明和科學發現非常多，他發現圓柱體積和其內接球體的體積之比（這個比例為3∶2）；他還用內接和外切多邊形的方法來測量圓周，逐漸增加多邊形的邊數，使其逐漸與圓周長相接近。這個漸進的方法證明：圓周長與直徑之比，大於31071，小於31171。這是數學上相當重要的方法——用有理數逼近無理數，叫做“無窮逼近”。
阿基米德口頭上雖然看不起他那些機械發明，稱它是幾何學上的小玩意兒。但他在機械方麵的這些發明給人們帶來了相當大的實用價值。大約是他在亞曆山大裏亞的時候，埃及人請他幫助處理尼羅河河水排灌，他們要他提供一種能使水均衡分配的方法。結果阿基米德發明了一種水螺旋。這種水螺旋大概是一種管子繞成螺旋形，放在水裏繞著軸旋轉，水便從管中不斷流出來。
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